В частта по въпроса Кои са двете форми на записване на числата? дадено от автора просфоранай-добрият отговор е В позиционните бройни системи количественият еквивалент (стойност) на цифрата зависи от нейното място (позиция) в записа на числото.
Позицията на цифрата в числото се нарича нейна цифра.
Цифрата на числото се увеличава от дясно на ляво, от малки към високи цифри.
Основата на позиционната бройна система е цяло число, което е равно на броя на цифрите, използвани за представяне на числа в дадена бройна система.
Базата показва колко пъти се променя количествената стойност на дадена цифра, когато се премести на ниска или висока цифра.
ПОЗИЦИОННИ БРОЙНИ СИСТЕМИ С ПРОИЗВОЛНА ОСНОВА
Възможно е да се използват различни позиционни бройни системи, чиято основа е равна или по-голяма от 2.
В бройни системи с основа q (q-ична бройна система) числата в разширен вид се записват като сбор от поредица от степени на основа q с коефициенти, които са числата 0, 1, ..., q-1.
или
Aq – число в q-ичната бройна система,
q – основа на бройната система,
Ai – числа, принадлежащи към азбуката на дадена бройна система,
n – брой цели цифри на числото,
m – брой дробни цифри на числото.
Коефициентите ai са цифрите на число, записано в q-ичната бройна система.
Свита форма на запис на число:
Използваме свитата форма за писане на числа в ежедневието,
нарича се естествено или цифрово.
За записване на дроби се използват цифри с отрицателни стойности на степените на основата.
ДЕСЕТНА БРОЙНА СИСТЕМА
Основа: q = 10.
Азбука: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Свита форма на запис на число:
Разширена форма на запис на число:
Коефициентите ai са десетични цифри.
Например числото 123.4510 в разширена форма ще бъде написано по следния начин:
Умножаването или разделянето на десетично число по 10 (базовата стойност) премества десетичната запетая, като разделя цялата част от дробната част с едно място надясно или наляво. Например:
123,4510 10 = 1234,510;
123,4510: 10 = 12,34510.

| Планиране на урока и материали за урока | 8 клас | Планиране на уроци за учебната година (според учебника на Н. Д. Угринович) | Разгънати и свити форми на записване на числа. Преобразуване от произволна в десетична бройна система

Урок 19
Разгънати и свити форми за записване на числа. Преобразуване от произволна в десетична бройна система

§ 4.1. Кодиране на числова информация

4.1.2. Аритметични операции в позиционни бройни системи

Аритметичните операции във всички позиционни бройни системи се извършват по едни и същи правила, които са ви добре познати.

Допълнение.Нека разгледаме добавянето на числа в двоичната бройна система. Базира се на таблица за събиране на едноцифрени двоични числа:

0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10.

Важно е да се обърне внимание на факта, че при събиране на две единици цифрата се препълва и се прехвърля към най-значимата цифра. Препълване на цифри възниква, когато стойността на цифра в нея стане равна или по-голяма от основата на бройната система. За двоичната бройна система тази стойност е две.

Добавянето на многобитови двоични числа се извършва в съответствие с горната таблица за добавяне, като се вземат предвид възможните прехвърляния от цифри от нисък към висок ред. Като пример, нека добавим двоичните числа 110 2 и 11 2 в колона:

Нека проверим правилността на изчисленията чрез събиране в десетичната бройна система. Нека преобразуваме двоичните числа в десетичната бройна система и след това да ги добавим:

Сега нека преобразуваме резултата от двоично събиране в десетично число:

Нека сравним резултатите - добавянето е извършено правилно.

Изваждане.Нека разгледаме изваждането на двоични числа. Базира се на таблица за изваждане на едноцифрени двоични числа.

При изваждане на по-голямо число (1) от по-малко число (0) се заема от най-високата цифра. В таблицата заемът е обозначен с 1 с ред:

Изваждането на многобитови двоични числа се извършва в съответствие с горната таблица за изваждане, като се вземат предвид възможните заеми от най-високите цифри. Като пример, нека извадим двоичните числа 110 2 и 11 2:

Умножение.Умножението се основава на таблицата за умножение за едноцифрени двоични числа:

Умножението на многоцифрени двоични числа се извършва в съответствие с горната таблица за умножение по обичайната схема, използвана в десетичната бройна система, с последователно умножение на множителя със следващата цифра на множителя. Като пример, нека умножим двоичните числа 110 2 и 11 2:

дивизия.Операцията деление се извършва по алгоритъм, подобен на алгоритъма за извършване на операция деление в десетичната бройна система. Като пример, нека разделим двоичното число 110 2 на 11 2:

За да извършите аритметични операции с числа, изразени в различни бройни системи, е необходимо първо да ги преобразувате в една и съща система.

Задачи за самостоятелно изпълнение

4.6. Задача с подробен отговор.Извършва събиране, изваждане, умножение и деление на двоични числа 1010 2 и 10 2

Основата на позиционната бройна система е цяло число q, което се повдига на степен.

Основата на позиционната бройна система е поредица от числа, всяко от които определя количествения еквивалент (тегло) на даден символ в зависимост от мястото му в числовия код.

Десетична основа: …10 н, 10н –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – м ,…

Основата на произволна позиционна бройна система: ... qn, qn –1 , …, р 1 , р 0 , р –1 , …, р – м, …

Основата във всяка система е изобразена като 10, но има различна количествена стойност. Той показва колко пъти се променя количествената стойност на една цифра, когато се премести в съседна позиция. Възможни са много позиционни системи, тъй като всяко число не по-малко от 2 може да бъде взето като основа на бройната система.

Името на бройната система съответства на нейната основа (десетична, двоична, петична и др.).

В бройна система с основа р (р-ary бройна система) единиците на цифрите са последователни степени на число q,с други думи, рединици от всяка категория образуват единица от следващата категория.

За записване на числа р-изисква се бройна система рразлични знаци (цифри), представляващи числата 0, 1, ..., р – 1.

Следователно основата на позиционната бройна система е равна на броя на символите (знаците) в нейната азбука. Писане на число р V р-арната бройна система има формата 10.

Пример 1.Осмична бройна система.

Основа: q = 8.

Азбука: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Числа: например 45023.152 8 ; 751 001 8 .

Пример 2.Петкратна бройна система .

Основа: р = 5.

Азбука: 0, 1, 2, 3 и 4.

Числа: например 20304 5 ; 324,03 5.

Пример 3.Шестнадесетична бройна система.

Основа: q = 16.

Азбука: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Тук само десет от шестнадесетте цифри имат общоприетото обозначение 0-9. За изписване на останалите знаци от азбуката (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обикновено се използват първите пет букви от латинската азбука.

Числа: например В5С3,1А2 16; 355.0FA01 8 .

В позиционната бройна система всяко реално число може да бъде представено в следната форма:

A q = ±( a n–1 × qn –1 + a n–2 × qn –2 +…+ а 0 × р 0 + а–1 × р –1 + а–2 × р –2 +…+ а –м × q–m), (1) или ±.

Тук А -самото число; q-корен;
и аз- числа, принадлежащи към азбуката на дадена бройна система; П -брой цели цифри; T -брой дробни цифри на число.

Разлагането на число по формула (1) се нарича разширен формуляр за влизане . В противен случай тази форма на запис се нарича полиномили успокоен.

Пример 1.Десетично число А 10 = 5867,91 съгласно формула (1) се представя по следния начин:

А 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.

Пример 2.Формула (1) за осмичната бройна система има формата:

А 8 = ±( a n–1 × 8 н –1 + a n–2 × 8 н –2 +…+ а 0 × 8 0 + а–1 ×8 –1 + а–2 ×8 –2 +…+ а–м×8 – м),

Където и аз- числа 0–7.

Осмичното число A 8 = 7064.3 във формата (1) ще бъде записано, както следва:

А 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.

Пример 3.Петкратно число А 5 = 2430,21 съгласно формула (1) ще бъде записано, както следва:

А 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5" + 0 × 5° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.

Чрез изчисляване на този израз можете да получите десетичния еквивалент на посоченото петкратно число: 365,44 10.

Пример 4.В шестнадесетичната бройна система записът е 3 А.Ф. 16 означава:

3А.Ф. 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

БРОЙНИ СИСТЕМИ И

ПРЕВОД НА ЧИСЛАТА ОТ ЕДНА СИСТЕМА В ДРУГА

Бройна система (SS)-това е начин за представяне на числата и съответните правила за работа с тях.

Бройните системи се делят на позиционни и непозиционни

Основа на бройната система- назовете броя на цифрите, използвани за писане на числа

СС азбука- назовете всички цифри (знаци), използвани за писане на числа

Разгъната форма за запис на число

Aq = a n a n-1 ..a 1 a 0 = a n q n + a n-1 q n-1 +..a 1 q 1 + a 0 q 0

q - основа

a i - числа

n - брой цифри на цялата част

m - брой цифри на дробната част

123,45 10 =100+20+3+0,4+0,05=1∙10 2 +2∙10 1 +3∙10 0 +4∙10 -1 +5∙10 -2

123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2

Таблица с еквивалент на числа

Азбуките в съответните бройни системи са подчертани с удебелен шрифт.

Правилото за преобразуване на число от всяка бройна система в десетична

За да конвертирате число в десетичната бройна система, трябва:

1. напишете числото в разгъната форма

2. конвертирайте всички числа в десетични SS (за SS с q>10)

3. пресметнете стойността на получения израз

123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2 =64+16+3+0,5+5/64=83,578 10

1BE,84 16 =1∙16 2 + б∙16 1 +д∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =

1∙16 2 +11 ∙16 1 +14 ∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =

256+11∙16+14∙1+0,5+0,015=446,515 10

Решете примери:

2) 150 6 = A 10

4) DF 18 = A 10

5) 1AB 16 = A 10

Правилото за преобразуване на цели десетични числа в други бройни системи:

1. Последователно извършване на деление с остатъка от даденото число и получените непълни частни по основата на новото SS, докато получим непълно частно, което е по-малко от делителя.

2. Приведете получените остатъци, които са цифрите на числото в новата SS, в съответствие с азбуката на новата SS (за SS с q>10)

3. Съставете числото в новата SS, като запишете всички остатъци, като започнете с последното частно

19 10 = 10011 2
19 10 = 13 16
205 10 = CD 16

Решете примери:

1) 5 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18

2) 15 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18

1) 150 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18

Бързо преобразуване в двоична бройна система чрез разширяване до степени на две

Удобно е числото да се преобразува в двоично SS за някои числа, като се използва вторият метод: разширяване на степени на две. Разбира се, за да направите това, трябва да знаете тези степени наизуст ;-)

19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 =1∙2 4 + 0∙2 3 +0∙2 2 +1∙2 1 + 1∙2 0 =10011 2

Можете да пропуснете разширената форма на запис на число. Ако има степен, тогава поставяме една, ако няма степен в ред (в нашия пример 3 и 2), тогава поставяме 0 там.

19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 10011 2

Този метод е особено удобен за числа, чиято стойност е близка до степен.

Решете примери:

1) 161 10 = A 2

1) 321 10 = A 2

1) 600 10 = A 2

Правило за преобразуване на двоично число в SS с основа q=2 n

1. разделете даденото двоично число, започвайки от запетаята (цяло число и дробни части) на групи от по n цифри всяка

Как да преминем от свитата форма на запис на десетично число към разгънатата му форма?

Отговор

Помислете за десетичното число 14351.1. Неговата свита форма на нотация е толкова позната, че не забелязваме как в съзнанието си преминаваме към разширена нотация, умножавайки цифрите на числото по „теглата“ на цифрите и добавяйки получените продукти:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1.

Преход от свита форма към разгъната форма

1. Погледнете даденото ви число и определете броя на неговите цифри.

Пример:
Напишете 5827 в разширена форма.

Прочетете числото на глас: пет хиляди осемстотин двадесет и седем.

Моля, обърнете внимание, че този номер има четири цифри. В резултат на това разширената форма ще съдържа четири термина.

2. Препишете числото като сбор от неговите цифри, оставяйки малко разстояние между тях, за да умножите всяка цифра по определена цифра (повече за това по-късно).

Пример:
5827 пренапишете го така:

3. Цифрите на числото са разположени на определени позиции, които съответстват (от дясно на ляво) на единици, десетици, стотици, хиляди и т.н. Определете името на позицията и нейното значение за всяка цифра (от дясно на ляво).

Пример:
Тъй като това число е четирицифрено, трябва да определите имената на четирите позиции (от дясно на ляво).

7 съответства на единици (стойност = 1 = 10 0).
2 съответства на десетки (стойност = 10 = 10 1).
8 съответства на стотици (стойност = 100 = 10 2).
5 съответства на хиляди (стойност = 1000 = 10 3).

4. Умножете всяка цифра от дадено число по стойността на съответната й позиция.

Пример:
5 10 3 + 8 10 2 + 2 10 1 + 7 10 0